具体的にはどんな場合に利用するのでしょうか？

相続が発生し、相続人のうちの一人が判断能力のない方であったとします。

このままでは遺産分割協議をして法定相続分とは違う分け方をすることはできません。遺産分割協議は相続人全員で行わなければならず、一人が欠けてもいけません。
こんな場合に、判断能力のない方について成年後見制度を利用し後見人を選任することで、後見人が判断能力のない方の法定代理人として、正式に遺産分割協議に参加することができます。法定相続分とは違う分け方もすることができるようになります。

認知症の方がいて、その判断能力がない状態につけこんで、悪徳業者が家のリフォーム契約を締結させたとします。

成年後見制度を利用していないと、契約を取り消すためには、詐欺の主張や、買うつもりでなかったなら錯誤の主張、または消費者契約法などを駆使して解除の主張をしていかなければなりません。
この場合、認知症の方の側で詐欺行為があったことを立証しなければならないのです。でも成年後見制度を利用し後見人が選任されていれば、後見人が法定代理人として、この立証なしに直ちに取り消すことができます。